【Blender 5.1】ジオメトリノードのためのマトリックス入門｜位置・回転・スケールを行列で理解する

blender
2026.04.20
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BlenderのジオメトリノードにはTransform Geometryノードがあり、
移動・回転・スケールを直接操作できます。

一方で、Matrix系のノードを使って
同じようにトランスフォームを行うこともできます。

マトリックスとは行列のことです。
Transform Geometryノードも内部的にはマトリックス（行列）で変換していますが、
Matrix系ノードを使うことで、その仕組みをより直接的に扱うことになります。

ただ、行列にあまり馴染みがないと、
これらのノードは直感的に理解しづらく感じるはずです。

そこでこの記事では、まず
「どう値を入れると、どう動くのか」
という実用的な視点から整理していきます。

マトリックス（行列）は座標を変換する仕組みですが、
ここでは3Dのトランスフォーム（移動・回転・拡大縮小）に絞って、
最低限の知識をまとめます。

そのうえで、ジオメトリノードでの扱いに繋げていきます。

※ちなみに、行列計算ができる必要はありません。あくまでも、内部の計算に興味があるというマニアックな方とか、とりあえず知っておきたい方向けの解説です。回転とか移動の数値を入れるだけで動かせるノードもあるので、この記事の内容は「ふーん」でスルーして全く構いません！！

はじめてマトリクスノードを触るって方にわかりやすく解説してみた動画を作成しました。

これを見てからこのブログを読むことをオススメします。

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そもそもマトリックスとは何か

マトリックスとは行列のことです。行列とは、数値を格子状に並べたものです。

マトリックス（行列）

[]の中に数字を並べたもの。右図のようにいろんなマトリックスがある。※（）に入れることもある

行と列

横に並んだものを行、縦に並んだものを列といいます。横に３行、縦に２列数字が並んだ行列を３×２行列などといいます。

ジオメトリノードで使うマトリックス

ジオメトリノードでトランスフォーム（移動・回転・スケール）に使うマトリックスは４×４行列です。

Combine Matrixノードに、それぞれの行列の成分の値を入力して行列を作ることができます。

行列はただの数字の並びに見えますが、3Dではこれが座標を変換するためのルールとして使われます。

「座標 × 行列 = 新しい座標」になる

つまり行列は、「どう動かすか」をまとめた装置です。

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行列の計算

マトリックスでどうやってトランスフォームをするのかってことなんですが、とりあえず基本的な行列の計算について説明します。

マトリックス（行列）の足し算

行列の足し算は同じ行と列にある値を足すだけです。

例えば
ベクトルa…[5 2]
ベクトルb…[3 5]

を足すと、合成されたベクトルの座標が出ます。

ベクトルを行列で表す
ベクトルP…
[X(ｘの座標の位置) Y(yの座標の位置)]
※実際は縦にして列でベクトルを表すことが多いです。

これは移動・回転・スケールなどのトランスフォームに使われる計算ではありません。トランスフォームの基本演算では、行列の足し算は使われず、主に行列の掛け算によって変換の合成が行われます。

一応、行列の足し算とはこういうルールです、という説明をしてみました。
行列の足し算を記号であらわしたもの↓

(abcd)+(efgh)=(a+eb+fc+gd+h)\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{array} \right)

マトリックス（行列）の掛け算

行列の掛け算は左の行列の●行と、右の行列の■列を取り出して、
対応する要素を掛けて、その合計を●行■列の成分にします。（足し算に比べて複雑すぎるルール…！）

行列の掛け算を記号であらわしたもの↓

(abcd)(efgh)=(ae+bgaf+bhce+dgcf+dh)\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{array} \right)

この掛け算を使って、あるベクトル[x y]を変換することができます。ある変換行列をベクトルに掛けるだけです。

[x′Ay′A]=[1−1A11A][xAyA]\begin{bmatrix} x’\vphantom{\Large A} \\ y’\vphantom{\Large A} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1\vphantom{\Large A} \\ 1 & 1\vphantom{\Large A} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\vphantom{\Large A} \\ y\vphantom{\Large A} \end{bmatrix}

こうして、新たなベクトル[x’ y’]を作ることができます。

図の中で、変換行列を使って、具体的に[2 1]のベクトルを[1 3]に変換しています。

これは2次元ですが、3×3行列を使えば3次元の形を変形することができます。こうして行列を掛けることで、ベクトルの位置や向きを変えるというのが、トランスフォーム変換のざっくりとした仕組みです。

新しい位置 = 行列 × ベクトル

ただ、これだけでは「どんな行列をかけると、ベクトルがどう変形するのか」は分かりません。
変換行列は、ベクトルをどのように動かすかというルールを表しています。
ここからは、そのルールの中身を少しずつ見ていきます。

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スケール（拡大・縮小）変換

では具体的に拡大縮小はどう計算するのかやってみます

例えば、X方向に2倍、Y方向に3倍にスケール変換したい場合、変換行列である

[2A00A3]\begin{bmatrix} 2 \vphantom{\Large A}\, & \,0 \\ 0 \vphantom{\Large A}\, & \,3 \end{bmatrix}

を掛けます。

右図のように、例えば
[1 1]ベクトルにかけると、
[2 3]になり、確かにX方向に2倍、Y方向に3倍にスケール変換されています。

しかし、この変換行列はどうやって作るのでしょうか？

変換行列はどう作る？

上の図を見ながら読んでほしいんですが、まず座標には、

ｘ方向の基準ベクトルとなる
大きさ１のベクトルi…[1 0]

ｙ方向の基準ベクトルとなる
大きさ１のベクトルj…[0 1]

があります。これは、座標の基準となる、基底ベクトルと呼ばれます。

X方向に2倍、Y方向に3倍にスケール変換したい場合

ベクトルiを２倍にして[2 0]
ベクトルjを３倍にして[0 3]
にします。基準となるベクトル（基底ベクトル）を変換すると、その組み合わせで表されるすべての点も同じように変換され、格子全体の形が変わります。

なので、この変換された基底ベクトルを列として並べることで、変換行列を作ることができます。

[2A00A3]\begin{bmatrix} 2 \vphantom{\Large A}\, & \,0 \\ 0 \vphantom{\Large A}\, & \,3 \end{bmatrix}

これを３次元にするには、３×３の変換行列を作ります。例えば、X方向に2倍、Y方向に3倍、Ｚ方向に1.5倍スケール変換したい場合、変換行列は以下のようになります。

[2A000A300A01.5]\begin{bmatrix} 2 \vphantom{\Large A}\, & \,0 \, & \,0 \\ 0 \vphantom{\Large A}\, & \,3 \, & \,0 \\ 0 \vphantom{\Large A}\, & \,0 \, & \,1.5 \end{bmatrix}

見た目からも、行列の対角成分が各軸方向のスケールを表していることがわかります。

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回転の変換

回転は少し複雑ですが、本質は同じです。

回転も、基底ベクトルを変換したあとのベクトルを並べて変換行列を作ります。

まず基底ベクトルの

ベクトルi…[1 0]
をθ回転すると
[cosθ sinθ]になります。

ベクトルj…[0 1]
はX軸方向から90°回転したところからスタートしているので90°足して、さらにθ回転すると、
[cos(θ+90°) sin(θ+90°)]
加法定理より
[-sinθ cosθ]になります。

これを列方向に並べて

[cos⁡θA−sin⁡θsin⁡θAcos⁡θ]\begin{bmatrix} \cos\theta \vphantom{\Large A} & \, -\sin\theta \\ \sin\theta \vphantom{\Large A} & \cos\theta \end{bmatrix}

θ回転の変換行列になります。

３次元だと、Z軸回転の変換行列は

[cos⁡θA−sin⁡θ0sin⁡θAcos⁡θ00A01]\begin{bmatrix} \cos\theta \vphantom{\Large A} & \, -\sin\theta \, & \, 0 \\ \sin\theta \vphantom{\Large A} & \cos\theta \, & \, 0 \\ 0 \vphantom{\Large A} \, & \, 0 \, & \, 1 \end{bmatrix}

X軸回転の変換行列

[1A000Acos⁡θ−sin⁡θ0Asin⁡θcos⁡θ]\begin{bmatrix} 1 \vphantom{\Large A} \, & \, 0 \, & \, 0 \\ 0 \vphantom{\Large A} \, & \, \cos\theta \, & \, -\sin\theta \\ 0 \vphantom{\Large A} \, & \, \sin\theta \, & \, \cos\theta \end{bmatrix}

Y軸回転の変換行列

[cos⁡θA0sin⁡θ0A10−sin⁡θA0cos⁡θ]\begin{bmatrix} \cos\theta \vphantom{\Large A} \, & \, 0 \, & \, \sin\theta \\ 0 \vphantom{\Large A} \, & \, 1 \, & \, 0 \\ -\sin\theta \vphantom{\Large A} \, & \, 0 \, & \, \cos\theta \end{bmatrix}

軸のところは１を掛けて固定するので、回転する平面にだけ cos と sin が出てきます。

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移動（トランスレーション）は特殊

実は「移動」は普通の3×3行列では表せません。

右図のように、適当な３×３の変換行列で変換してみると、どうしても他の軸の座標同士がまざってしまい、平行移動できません。

そこで使うのが 4×4行列 です。

[100Tx010Ty001Tz0001]\begin{bmatrix} 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; T_x \\ 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; T_y \\ 0 \;\; 0 \;\; 1 \;\; T_z \\ 0 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 1 \end{bmatrix}

これを変換行列にすれば変換後の行列が以下のようになり、それぞれの軸で簡単に移動できるようになります。

[x+Txy+Tyz+Tz1]\begin{bmatrix} x + T_x \\ y + T_y \\ z + T_z \\ 1 \end{bmatrix}

※Tx, Ty, Tzはそれぞれの軸の移動量

最終的に１×４行列が出てきてるし、１っていう謎の数字出てきてますが、最終的な座標としては最初のｘｙｚの位置のみを考慮するので問題ないです。

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変換マトリックスのルール

  • スケール
  • 回転
  • 移動

４×４行列を変換行列にすると、これらを 全部まとめて1つの行列にできる のが便利です。（人間からはわかりにくいけど、機械からみると便利ってことです）

複数の変形を変換行列一回掛けるだけで適用できるので計算も早くなります。

では今までの変換をまとめた４×４マトリックスの変換ルールを見てみます。

  • スケール・回転
    左上の３×３行列部分で行います。
    • 対角線に並ぶ値でスケール
    • cosθ、sinθと軸に１を入れることで回転
    • ある軸方向に引き延ばしたせん断変形もできます。（詳細は後述）
  • 移動（トランスレーション）
    ４列目に値を入れると各軸の移動ができます

対角線上に１が並んだマトリックスは単位行列といい、掛けても同じ位置が出てくるので、何も移動・変形させません。

基本的には上３行部分で変形・移動させます。

射影変換

４行目は、ある数値が入っている場合

[xpypzpwp]=[m11m12m13m14m21m22m23m24m31m32m33m34m41m42m43m44][xyz1]\renewcommand{\arraystretch}{1.6} \left[ \begin{array}{cccc} x_p \\ y_p \\ z_p \\ w_p \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} m_{11} & m_{12} & m_{13} & m_{14} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} & m_{24} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} & m_{34} \\ m_{41} & m_{42} & m_{43} & m_{44} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right]

と言う風に新たな座標のＷｐの部分に数値が入ります。これを１にするために各座標を割って最終的な座標を作ります。

xndc=xpwp,yndc=ypwp,zndc=zpwpx_{\text{ndc}} = \frac{x_p}{w_p}, \quad y_{\text{ndc}} = \frac{y_p}{w_p}, \quad z_{\text{ndc}} = \frac{z_p}{w_p}

投影のための計算では、行列の結果に「Wｐで割る工程」があり、それによって遠近感（射影）が生まれます。
Transform Geometryノードの変換ではこの工程は基本的に使われないため、透視的な効果は発生しません。つまり、特別なノード（Project Pointノード）を使わない限り、４行目に値を入れても正しい効果が出ません。

射影変換をやってみる

では実際射影変換をやってみます。そのためにはProject PointノードとSet Positionノードを使って変換します。

Project Pointノードは得られた同次ベクトル（次元を1つ増やして、同じ点を別の表現でも表せるようにしたベクトル）をW成分の絶対値で割るという工程を実行してくれます。この最後の処理は 透視除算（perspective division） と呼ばれます。

では４行目の１列目に１を入れてみます。

すると計算結果のベクトルは
[x y z x+1]になります。最後のｘ+1でこのベクトルの値すべてを割って最終的なベクトルにします。

すると、ｘの位置に応じてスケールが変わるような射影変換になります。

４行目の２列目に値を入れればｙの位置に応じたスケール、

４行目の3列目に値を入れればｚの位置に応じたスケールになります。

４行目の4列目に値を入れれば全体的なスケールが変わります。

基本的には遠近（パース）をつけるための変換であり、普通のトランスフォーム変換ではあまり使われないのかな…？という印象です。ただ、ある軸の位置に応じてスケールしたい、ということって結構あるので、そういう変形にも使えそうです。

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ジオメトリノードで動かしてみる

Combine Matrixノードに値を入れてスケールと回転変換をしてみます。

右図は入力したマトリックスと結果の画像です。

  • スケール
    左３×３の対角線上の値を変える
  • 回転
    左３×３回転軸以外の平面にcosθ、sinθなどを入力する
  • せん断
    １列目は今のｘ座標の位置
    ２列目は今のｙ座標の位置
    3列目は今のｚ座標の位置
    に値を掛けて計算に加える
    １行目はｘ座標
    ２行目はｙ座標
    ３行目はｚ座標
    に掛けた値を合成する
    結果として斜めにひき伸ばしたような変形ができます。
  • 移動
    ４列目に値を入れると、
    １行目はｘ
    ２行目はｙ
    ３行目はｚ
    方向にその量だけ移動します。

特にせん断は自分はジオメトリノードで文字を打って斜体にしたい場合によく使ってました。

※行列を直接指定する他に、最初にスケール、回転のマトリックス乗算でもできます

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面白い形を作ってみよう

Transform Geometryノードを使うと、単一の値しか受け付けないので、上記で言ってた

  • スケール
  • 回転
  • 移動
  • せん断

の組み合わせのような変形しかできません。

フィールド値を使えるようにするために、Transform PointノードとSet Positionノードを使って変換していきます。

マトリックスにｚの位置座標のsinの値を２行目１列目に入れると、ねじれたような形ができます。

他の軸にも位置に応じた三角関数の値を入れていくと、ねじれ、とかひねったような形が重なって、なんか、謎の複雑な物体が簡単に作れます。

右の動画は行列の値を変えてキューブを変形していくアニメーションです。

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マトリックスの利用

行列には今回紹介した変換以外にも、逆行列や転置行列など、さまざまな性質や計算があります。ジオメトリノードにもそれに対応したマトリックス系のノードが用意されています。

また、これらの機能が追加されたことで、ジオメトリノード内にTransformのソケットが登場し、ローカル座標系を意識した変換や、より柔軟な動きの制御ができるようになりました。

もともと行列は、機械工学やCGの分野で物体の位置や向きを正確に制御するために使われているものです。そのためジオメトリノードでも、単なる変形だけでなく、アニメーションやシミュレーションなど、より複雑な動きを扱う際に重要な役割を持ちます。

こうした応用については、別の記事で詳しく解説していきたいと思っています。

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